Trigonometri (FireMath)

Rumus untuk tan (a+b) dan tan (a-b)

Untuk memperoleh rumus tangent jumlah dua sudut perlu mengingat kembali rumus

$$\mathrm{tan\; a}=\frac{\mathrm{sin\; a}}{\mathrm{cos\; a}}$$

dan rumus sinus dan kosinus untuk jumlah dua sudut, sehingga diperoleh.

$$\mathrm{tan\; a}=\frac{\sin \left(a+b\right)}{\cos \left(a+b\right)}$$ $$\[ =\frac{\mathrm{sin\; a\; cos\; b}+\mathrm{cos\; a\; sin\; b}}{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}-\mathrm{sin\; a\; sin\; b}} \] \[ =\frac{\frac{\mathrm{sin\; a\; cos\; b}}{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}}+\frac{\mathrm{cos\; a\; sin\; b}}{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}}}{\frac{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}}{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}}-\frac{\mathrm{sin\; a\; sin\; b}}{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}}} \] \[ =\frac{\frac{\mathrm{sin\; a}}{\mathrm{cos\; a}}+\frac{\mathrm{sin\; b}}{\mathrm{cos\; b}}}{1-\frac{\mathrm{sin\; a\; sin\; b}}{\mathrm{cos\; a\; cos\; b}}} \] \[ =\frac{\mathrm{tan\; a\; tan\; b}}{1-\mathrm{tan\; a\; tan\; b}} \]$$

Jadi, diperoleh rumus

$$\tan \left(a+b\right)=\frac{\mathrm{tan\; a}+\mathrm{tan\; b}}{1-\mathrm{tan\; a\; tan\; b}}$$

Dengan memandang bahwa

$$a-b=a+\left(-b\right)$$

maka dari rumus

$$\tan \left(a+b\right)$$

kita dapat menentukan rumus

$$\tan \left(a-b\right)$$

dengan langkah-langkah sebagai berikut.

$$\tan \left(a-b\right)=\tan \left(a+\left(-b\right)\right)$$ $$=\frac{\mathrm{tan\; a}+\tan \left(-b\right)}{1-\mathrm{tan\; a}\tan \left(-b\right)}$$ $$=\frac{\mathrm{tan\; a}-\mathrm{tan\; b}}{1-\mathrm{tan\; a}\left(-\mathrm{tan\; b}\right)}$$ $$=\frac{\mathrm{tan\; a}-\mathrm{tan\; b}}{1+\mathrm{tan\; a\; tan\; b}}$$

Jadi, diperoleh rumus

$$\tan \left(a-b\right)=\frac{\mathrm{tan\; a}-\mathrm{tan\; b}}{1+\mathrm{tan\; a\; tan\; b}}$$